Γεννήθηκε στην Μηλίνα, ένα μικρό παραθαλάσσιο χωριό του Πηλίου, επίνειο του Λαύκου, γιός της Ευανθίας και του καπετάνιου Ευάγγελου Φάππα. Έδειξε από μικρός το ταλέντο του στην μουσική, παίζοντας λαούτο και μαθαίνοντας μαντολίνο. Αργότερα σπούδασε κλασσική κιθάρα με τον Νίκο Ιωάννου και πήρε το δίπλωμά του από το Εθνικό Ωδείο (τάξη Γ. Βώκου) με αριστείο εξαιρετικής επίδοσης το 1953. Σπούδασε επίσης ανώτερα θεωρητικά στο Ωδείο Αθηνών με τον Θ. Βαβαγιάννη και τον Κ. Κυδωνιάτη.
Στα 1955 και 1956, με υποτροφία της Ιταλικής κυβέρνησης, σπούδασε κιθάρα στην Ακαδημία Chigiana της Σιέννα, με τον Αντρέ Σεγκόβια και μουσικολογία με τον Εμίλιο Πουχόλ. To 1958, πάλι με πρόσκληση και υποτροφία του Σεγκόβια, σπούδασε κοντά του στην Ακαδημία του Santiago de Compostella της Ισπανίας, με συμμαθητές τους Alirio Diaz και John Williams.
Έδωσε πολλά ρεσιτάλ στην Αγγλία, Γερμανία, Γαλλία, Ισπανία, Πορτογαλία, Ιταλία, Ολλανδία, Τσεχοσλοβακία, ΗΠΑ, Καναδά, ΕΣΣΔ, Ουγγαρία, Βατικανό, Γιουγκοσλαβία, Τουρκία, Αυστρία, σε όλες τις μεγάλες πόλεις και θέατρα της Ελλάδας, στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου αποσπώντας αρκετές θετικές κριτικές. Έδωσε επίσης πολλές διαλέξεις για την κιθάρα σε Διεθνή φεστιβάλ, σε ραδιοφωνικούς σταθμούς στην Ελλάδα και το εξωτερικό (ΕΡΤ, BBC).
Yπήρξε μέλος και προεδρεύων πολλών ελλανοδίκων επιτροπών διαγωνισμών κιθάρας. Ήταν τακτικό μέλος της Ένωσης Ελλήνων Μουσουργών, μέλος του Εθνικού Συμβουλίου Μουσικής (IMC. UNESCO) και Πρόεδρος του ΣΚΩΑ. Συμμετείχε σε πολλούς δίσκους και κινηματογραφικές ταινίες. Για τουλάχιστον μια δεκαετία συνεργάστηκε ως σολίστ και ζωντανά σε συναυλίες, θεατρικές και μουσικές παραστάσεις έργων των Μάνου Χατζηδάκι, Μίκη Θεοδωράκη, Κουνάδη, Ξαρχάκου, Ζαμπέτα, και άλλων, προσφέροντας στην κιθάρα μεγαλύτερη δημοτικότητα.
Ηχογράφησε πέντε προσωπικούς δίσκους για σόλο κιθάρα, με κλασσικό ρεπερτόριο και δικές του συνθέσεις ενώ συμμετείχε και σε κονσέρτα με Συμφωνική ορχήστρα. Παράλληλα διακρίθηκε και ως συνθέτης. Έγραψε πλήθος από έργα, σπουδές, σουίτες, χορούς και άλλα, που παίζονται στην Ελλάδα και το εξωτερικό. Η μουσική του, με έντονο λυρισμό και ρομαντισμό, πλούσια ποτισμένη με χρώματα και στοιχεία από την Ελληνική παράδοση, αντανακλά τη βαθιά του γνώση πάνω στο όργανο της κιθάρας, τις ικανότητές του ως συνθέτη, τη δεξιοτεχνική δεινότητα του και την αγάπη του για την πατρίδα. Έργα του έχουν εκδοθεί από τους μουσικούς οίκους Ricordi (Ιταλίας και Βραζιλίας), Lathkill music publishers (Αγγλίας), Max Eschig (Γαλλία), MEL BAY & Columbia (Η.Π.Α), Φ. Νάκα, Μ. Νικολαίδη-Orpheus και Κ. Παπαγρηγορίου-Χ.Νάκα στην Αθήνα, ενώ συχνά παίζονται ως υποχρεωτικά σε διεθνείς διαγωνισμούς.
Ο Δημήτρης Φάμπας υπήρξε επίσης πρωτοπόρος δάσκαλος. Με επιμονή και υπομονή, μετέφερε τη βαθιά γνώση του οργάνου και το πάθος του σε γενιές κιθαριστών και φιλόμουσων. H σχολή του και η διδασκαλία του θεωρήθηκαν από τις καλύτερες στον κόσμο από όπου βγήκαν πολλοί διαπρεπείς καλλιτέχνες. Το 1958 για πρώτη φορά παρουσιάζονται νέοι κιθαρίστες, μαθητές της σχολής του, σε ομαδική συναυλία. Από τότε και κάθε χρόνο η σχολή του παρουσίαζε τους καλλίτερους νέους κιθαρίστες. Ανάμεσα τους και οι Λίζα Ζώη, Ευάγγελος Ασημακόπουλος, Ευάγγελος Μπουντούνης, Νότης Μαυρουδής, Ειρήνη Κώνστα, Κώστας Γρηγορέας, Γιώργος Κερτσόπουλος, Κυριάκος Τζωρτζινάκης, Εύα Φάμπα, Μάρκος Τσέτσος, Ευάγγελος Φάμπας, Γιώργος Μαυροειδής, Γιώργος Μυλωνάκος, Ακης Τριανταφύλλου, Κώστας Τσερεγκώφ, Νίκος Παναγιωτίδης, Ελένη Ασπρούδη, Νίκος Χαμηλοθώρης, Σπύρος Μιχαήλ, Βασίλης Μαστοράκης, Γιάννης Μανιατόπουλος, Ελευθερία Κοτζιά, Δημήτρης Κασφίκης, και άλλοι. Οι μαθητές του έχουν κερδίσει πολλά βραβεία σε διεθνείς διαγωνισμούς. O Δημήτρης Φάμπας δημιούργησε και διέυθυνε δύο ορχήστρες κιθαριστών, μία με παιδιά και μία με προχωρημένους κιθαρίστες, με τις οποίες για πάνω από δέκα χρόνια έδωσε συναυλίες σε όλη την Ελλάδα. Η ζωή και το έργο του συμπεριλαμβάνονται σε παγκόσμια λεξικά, σε κιθαριστικά μουσικά λεξικά και ιστορίες κιθάρας της Γερμανίας, Πολωνίας, Ιαπωνίας, Ιταλίας, Αγγλίας και Ελλάδας, σε Ελληνικές Εγκυκλοπαίδειες και στα παγκόσμια Who’s Who. 
Δημήτρης Φάμπας πέθανε στην Αθήνα, στις 3 Μαΐου του 1996.